高斯-比奈-陈定理是什么？
早在高斯十五岁时，他就构思了一种几何，其中欧几里得几何的第五公设不再成立。他把这种几何称为“星空几何”，也许他预言了这种几何可能在浩瀚星空中实现。
但众所周知，真正公开系统地提出这种几何的是洛巴切夫斯基(有些英文文献是罗巴切夫斯基，俄文名称稍有不同就可以翻译成英文。)所以这种几何被称为“洛巴切夫斯基几何”，又称双曲几何。在双曲几何中，三角形的内角之和不再等于180度。但我们需要的不仅仅是这个定性的结果，还要确定内角之和与180度的偏离程度，也就是所谓的“角盈”，角盈。当然，这个盈余是广义上的盈余。如果差额为负，则为负盈余:)
描述这种差异的是著名的(局部)高斯-博内定理，它直接将曲面的曲率与角盈余联系起来。多边形在曲面上的高斯曲率k的积分加上多边形边界曲线在边界上的测地曲率k_g的积分加上多边形外角之和等于2π。如果这个多边形的边界曲线是测地线，那么测地曲率就是0，那么测地曲率的积分就是0，计算就会大大简化。如果是测地三角形，那么我们马上可以得到三角形内角公式的推广。由于内角和外角的互补关系，公式会变成:三角形内角之和减去π等于高斯曲率k在三角形包围的曲面上的积分。所以我们可以知道:
如果k等于零，那么这只是一个平面三角形，角余为零，三角形内角之和等于π；
若k大于零，则类似于球面上的三角形，有正的角盈余，三角形内角之和大于π；
如果k小于零，那么它就类似于伪球面上的三角形，有负的角盈余，三角形的内角之和小于π。
所以Gauss-Bonnet公式即使经过两次特化(第一次是多边形边界曲线的测地曲率为零，第二次是多边形为三角形)，仍然可以得到这三个漂亮的结果，直接推广了三角形内角和公式。
整体的Gauss-Bonnet定理更漂亮:紧定向二维黎曼流形M(可以粗略地看作是一个曲面的推广)的Gauss曲率的积分值等于2ππ(M)，其中χ(M)是M的欧拉特征数，是整体的典型离散值，Gauss曲率可以连续取局部值。这里，测地曲率的线积分被直接取消了。大家想想复变函数证明多连通域柯西积分定理时辅助线积分相互抵消的漂亮结果(其实我们证明多连通域格伦定理时就有这个方法)，可以类比想象这个结果。只是在全局高斯-博内定理的证明中，使用了著名的“三角剖分”将区域划分为三角形，抵消了线积分(单连通区域的柯西积分定理的现代证明中也使用了三角剖分)，而在多连通区域的柯西积分定理中，将多连通区域划分为单连通区域。从这里也可以看出，数学很多领域的研究也有同样的效果。这样的公式巧妙地将两个不同的重要概念完美地结合在一起。
后来曲率在黎曼推广后成为几何中的核心概念，欧拉特征数在庞加莱推广后成为拓扑学中的核心概念。这两个概念在整体微分几何中得到了巧妙的结合，而这种巧妙的结合是由于陈省身对高维复流形上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内在的推广。果然“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”这句话得到了回答。伟大的定理，经过伟大的推广，会产生更伟大的学科。
当Weil和Allendorff用块切割嵌入高维欧氏空间来证明这个定理的推广时，纳什嵌入定理还没有出现，所以前提并不是一开始就成立的。增加一个内在的美好结果，却用外在的方式去提升，确实不尽如人意。所以陈省身一到美国，韦尔就把这个想法告诉了陈省身，并得出结论:这个定理一定有一个内在的证明方法。陈省身很快完成了证明。当时最优秀的数学家之一Weyl对这一结果感到惊讶，并大加赞赏。韦尔总结说，这是一项具有几何里程碑意义的伟大工作。
在这里，从双曲几何到著名的高斯-博内-陈定理，我们还要提到一个人，那就是伟大的黎曼，他创立了狭义的黎曼几何。然后，将这一结果纳入他极其深刻的《黎曼几何》(黎曼几何和黎曼几何的区别是明确的，它们形式上的区别是“ian”，实质上的区别是“常曲率”和“任意曲率”的区别)，概括了高斯的曲面内禀几何。定义了抽象的黎曼度量，直接摆脱了仅在2维情况下欧氏空间中的嵌入研究，使曲面研究不再等价于3维欧氏空间中的曲面研究。庞加莱度量定义在著名的庞加莱上平面上，不能嵌入三维欧氏空间。庞加莱度量是黎曼度量之一。
正如米尔诺尔所说，在黎曼几何出现之前，双曲几何只是一个没有手脚的躯干。黎曼让这个躯干正常了。
在黎曼之后，贝尔特拉米实现了伪球面上的局部双曲几何，克莱因实现了开单位圆(不包括圆周)上的整体双曲几何，庞加莱实现了上半平面(不包括实轴)上的整体双曲几何。很容易证明单位圆与上半平面之间存在* *形映射，而单位圆与实数轴作为两个域的边界也是一一对应的。给定单位圆上的庞加莱度量，其截面曲率可计算为-1，证明了双曲几何的空间曲率小于零。我们知道，双曲几何是在庞加莱去世后发展起来的，最杰出的人物是菲尔兹奖获得者瑟斯顿。另外，这门学科的发展非常缓慢，可见其难度之大，庞加莱之伟大。
早在26岁时，著名的史瓦西就考虑了如果宇宙是弯曲的，那么曲率半径应该是多少。在19的最后，他说:“在本世纪，有人提出了除欧几里得几何以外的非欧几里得几何，主要例子有球面空间和伪球面空间。如果我们知道球面和伪球面几何中的世界是什么样子，我们会感到惊讶，这些几何可能具有有限的曲率半径。如果这是可能的，你会觉得自己置身于一个几何的仙境；而如此美妙的仙境是否会成为现实，我们无从得知。”(摘自1986年钱德拉塞卡在史瓦西讲座中引用的文字，杨建业、王小明等译。)
他还利用当时的天文数据估算了三维空间的曲率半径极限，认为双曲空间和球面空间的曲率半径下限分别为64光年和1600光年。
当然，我们知道在1900年，天文测距技术还不完善。其实爱因斯坦在提出静态宇宙学模型(1917)的时候，对宇宙大小的认识还是很模糊的。甚至在哈勃提出宇宙膨胀理论的时候，因为对造父变星光度的分析，对宇宙的观测也严重错误。所以在史瓦西时代，有这样关于宇宙的梦想和计算，真的是了不起。他的思想已经渗透到双曲几何和椭圆几何中。
题外话，现代微分几何学家在处理三维问题和四维问题时所面临的困难是截然不同的，因为如果三维空间中的Ricci曲率为零，则Riemann截面曲率为零，而四维空间不具备这种性质。但在史瓦西的时代，他肯定考虑不到这一点，所以如果他聪明到直接考虑四维时空，他还是会带着他的剑上阵:)
我们也知道，洛巴切夫斯基在提出双曲几何的时候，就设想了双曲几何可能在宇宙中实现。他说:“与此同时，我们不能不注意拉普拉斯的观点:我们看到的星星只是天体的一部分，就像暗淡的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户座、摩羯座等星座中看到的。所以，且不说想象中空间的无限延伸，大自然本身展现给我们的距离，即使与我们地球到恒星的距离相比，也是微不足道的。此外，它不能进一步断言，假设一条直线的测量不依赖于角度——这个假设，许多几何学家想采用作为一个严格的真理没有证明——可能会发现它有可察觉的错误之前，我们过渡到可见世界的极限。”
这个问题其实是英国的克利福德想象出来的，但是到了史瓦西那里，这个梦被进一步深化了。这样，我们就能理解为什么爱因斯坦一算出广义相对论，史瓦西就给出了第一个精确解。人家早就是老手了，学这些新几何很容易。再加上解偏微分方程的特殊能力，爱因斯坦对这个结果佩服得五体投地，比六年后弗里德曼对待的还要诚恳。
还应该多讲一点椭圆几何，因为它和双曲几何一样是非欧几何，但是考虑到从欧几何到双曲几何的实质性飞跃，从双曲几何到椭圆几何的飞跃几乎为零。只是平行发展，我没有贬低黎曼的意思。椭圆几何就是上面说的“狭义的黎曼几何”。有了广义的黎曼几何，黎曼的伟大已经不需要这个安慰奖了，更不用说其他很多至高无上的荣誉:黎曼曲面，黎曼假设等等。
文末我想起一个巧合，就是高斯和史瓦西都担任过戈廷根天文馆的馆长。一个是因为数学而天文学，一个是因为天文学而数学。太棒了。